UNIDAD 13

NOCIONES  DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

INTRODUCCIÓN.

Las ecuaciones lineales ya sean de una o dos incógnitas son poderosos instrumentos que se aplican en muchas áreas del conocimiento como ciencias, ingeniería, administración y otras en las que con este modelo matemático se explicitan y se resuelven muchas situaciones de la vida diaria lo que converge favorablemente en darle sentido y aplicabilidad   las matemáticas.

En este capitulo abordaremos las ecuaciones de primer grado con una incógnita, desde las mas elementales hasta otras de mayor complejidad con el objetivo de prepararnos para aplicarlas en situaciones concretas.

13.1 GENERALIDADES

A continuación explicaremos algunos conceptos elementales que  se necesitan antes de solucionar ecuaciones lineales

13.1.1 Igualdad. Es la expresión de dos cantidades que tiene el mismo valor. Se clasifican en dos: las numéricas y las algebraicas

a) Numéricas: Solo intervienen cantidades conocidas como números.

Ejemplo 1.  Las expresiones   3 + 8 = 4 + 7, 8 – 15 = 1 – 8, 6×8 = 50 – 2   y 5 + 9 = 23       son igualdades numéricas

Cabe aclarar que  las tres primeras son verdaderas y que la cuarta es falsa.

b)  Algebraicas o literales: Interviene cantidades conocidas y desconocidas que representamos por letras.

Ejemplo2.  Las expresiones  2.34k + 8 = 8x – 6,  k² + 8 = 9, a + b  + m + n = 0  son igualdades algebraicas. En éstas no es posible determinar si son verdaderas o falsa ya que son proposiciones abiertas

13.1.2. Identidad. Es una igualdad que es verdadera para cualquiera de los valores que intervienen en ella.  También se puede decir que Una identidad es una igualdad absoluta, o válida sin condicionamientos.

Ejemplo 3.  Las expresiones  (a + b)² = a² + 2 a b + b²  y  (x – y) (x + y)  =  x²  – y²  son identidades porque son válidas para cualesquiera números reales de las letras que se involucran.                                   

13.1.3 Ecuación. Es una igualdad condicionada, es decir que sólo es verdadera para algunos valores de la cantidad desconocida

La condición o condiciones que debe cumplir una ecuación para ser efectivamente una igualdad se representa por una letra o varias que reciben el nombre de incógnitas de la ecuación.

Las letras preferidas para simbolizar incógnitas son las últimas del alfabeto: x, y, z, t.

Cuando en una o varias ecuaciones hay un número muy grande de condiciones o incógnitas se usa una sola letra (generalmente x) subindizada en la forma x₁, x₂, x₃, …,x_n .

Ejemplo 4.  La igualdad 2.25k + 9 = 15  es una ecuación porque vemos una cantidad desconocida que se llama incógnita  y que es la letra k, sólo es verdadera para el valor de k = 2.6, porque al sustituir en dicha ecuación a la letra k por 2.6, obtenemos una igualdad verdadera. Si sustituimos cualquier otro valor, la igualdad es falsa.

Ejemplo 5. La igualdad 5√3x – 5 = 10 es una ecuación, porque la incógnita es  x, y solo es verdadera para el valor de   x = √3

Ejemplo 6.  La igualdad  k²  – 5k – 24 = 0 es una ecuación que solo se verifica para los valores de k = -3 y k = 8.  Tendremos:

Si k = -3, entonces  (-3)² – 5(-3) – 24 = 0                    Si k = 8, entonces  (8)² – 5(8) – 24 = 0

                                          64 – 40 – 24 = 0                                                                 9  +   15  –  24  = 0

                                                             0 =  0                                                                                0 = 0      

A manera de resumen podemos establecer el siguiente diagrama donde se muestra lo relacionado anteriormente con ecuaciones

EJERCICIOS 13.1

1. En las siguientes igualdades determina las que   son numéricas y las que son algebraicas

 

1. 2 + 8 = 10                                                        5.  m + n + p = 2x – 3y
2. 5 – 6t + 8 = 2 + k                                            6.  8×9 = 80 – 8
3. 9 – 6 =√20                                                       7.  m² – n² = 8k³ + 1
4. 3x + 5y = 12                                                    8.  8 – k = 10

 

1. En las siguientes igualdades determina las que son ecuaciones,  las que son  identidades y las que no son ninguna de las dos.

        9.   -8.5 ≤ k ≤ 2.2                                                  14.  y² + 6y -7 ≥ 2

       10.  (1 + x) ³  = 0                                                     15.  x₃x₄x₅ + x₃²– x₄³ + x₅² = 5x₃² x – x₆x₂³x₄⁴ 

       11.  x₁²  + 2x₁x₂ + x₂² = ( x₁ + x₂ )²                         16. 6m – 7 = 5

       12.  k² – m² = 8                                                      17. √5 (z + √5) = √5z + 5

       13.  t³ – 1 = (t – 1) (t² + t + 1)                              18. 3(y – 1) ≥ 6

     

1. En las siguientes ecuaciones verifica las que son identidades y comprueba asignando valores.

 

         19. (m² +n²) = m² + n²                                                                                           22.           a    .  =   a   +    b

                                                                                                                      a +b         b         b

       20. x³ +y³  =  2                                                                                      

                 x³y³

        21. x³ –  y³  =  x² + xy +y²                                                  23.            

                x – y                                                                                                        

 

1. En las siguientes ecuaciones verifica la solución dada.

 

       24. 3x – 8 = 7. Sol. x = 5

       25. 5t – 1 = 3.  Sol. t = 4/5

       26. 6 + 5 x + 2 = 4 x – 2 + x  Sol. t = -10

       27. x² – 7x + 12 = 0. Sol x = 3 y x = 4

       28.  5√7 t – 5 = 30. Sol t = √7

       29. 0.04m + 5 = 3  Sol m = -50

       30.  5t – 9 = 7.3   Sol t =  3.26          

 

 

 

                                                                                 

 13.2. PARTES DE UNA ECUACIÓN.

Podemos distinguir las partes de  una ecuación lineal de la siguiente manera.

13.2.1 Miembros: son las expresiones que están a cada lado del signo igual. Distinguimos dos miembros el izquierdo y el derecho

Ejemplo 1. En la ecuación  2m + 8  = 6n – 8k + 111, el primer miembro es  2m + 8   y el segundo miembro es   6n – 8k + 111   . 

13.2.2 Términos: son cada una de la expresiones que están separada con otras por los signos + o  –                                                                                                

Ejemplo 2. En  la ecuación del ejemplo 1 tenemos los términos 2m, 8, 6n, 8k y 111.

En algunas ocasiones los miembros de una ecuación coinciden con los términos, es decir son la misma cosa como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. En la ecuación 2r  = 10, el miembro izquierdo es 2r que a su vez es un término, el miembro derecho es 10 que a su vez es otro término.

Por tanto miembro y término son la misma cosa cuando hay una sola cantidad.

 

 

EJERCICIOS 13.2

 

 En las siguientes ecuaciones identifica los miembros y los términos.

 

1. 11 t – 23 = 32                                                                      6. 2v + 7x = 5 – 7y
2. m + 5 -2k = 8r + 9z                                                            7. K= – 4
3. x² – y³ – 9 + 2k = 3m + u – 2w                                           8. 3- n + 2h = 3y + 2
4. m = 9.23 – 0.152w                                                             9. -0.23 x₁ – 9 = 0.25 x₂
5. x = 6√5                                                                                  10. √13 – x + y  = 8.3t + 8n

 

A ver si asi aprendes a sumar